สมการเหมือนกับเครื่องชั่งที่แม่นยำในโลกของคณิตศาสตร์ การแก้สมการนั้นแท้จริงแล้วเป็นศิลปะของการรักษาสมดุล เป้าหมายของเราชัดเจนมาก: ใช้วิธีที่ถูกต้องเพื่อลดรูปแบบพีชคณิตที่ซับซ้อนให้กลายเป็นเรื่องง่ายขึ้น และในที่สุด ด้านหนึ่งของเครื่องชั่งจะเหลือตัวแปรที่ไม่รู้ค่า $x$ เพียงตัวเดียว ส่วนอีกด้านหนึ่งจะแสดงค่าจริงของมันออกมา
คุณสมบัติพื้นฐานสองประการของสมการ
เพื่อเปลี่ยนรูปสมการโดยไม่ทำลายสมดุล เราจำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎหลักสองข้อ:
- คุณสมบัติ 1 (การคงที่การเลื่อน): เมื่อเพิ่ม (หรือลบ) จำนวนเดียวกัน (หรือพจน์เดียวกัน) ทั้งสองข้างของสมการ ผลลัพธ์ยังคงเท่ากัน คล้ายกับการเพิ่มหรือลดน้ำหนักของดิจิทัลที่เท่ากันทั้งสองด้านของเครื่องชั่ง โดยมักใช้ในการ 'กำจัด' พจน์คงที่ที่ไม่จำเป็น
- คุณสมบัติ 2 (การคงที่ตามสัดส่วน): 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。这用于调整未知数的系数，让它变回最纯粹的 1。
จำไว้: การแก้สมการคือการแปลงสมการเป็นรูปแบบ $x = a$ ทีละขั้นตอน คุณสมบัติ 1 ใช้กับการบวกและการลบ คุณสมบัติ 2 ใช้กับการคูณและการหาร เป้าหมายคือทำให้ $x$ ปรากฏตัวในรูปแบบเดิม!
สูตรหลัก: หาก $a=b$ แล้ว $a \pm c = b \pm c$; หาก $a=b$ แล้ว $ac = bc$ และ $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ (เมื่อ $c \neq 0$)
1. รวบรวมพจน์ของพหุนาม: สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด $x^2$ หนึ่งชิ้น, แถบสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $x$ สามชิ้น, และสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด $1\times1$ อีกสองชิ้น
2. เริ่มการจัดเรียงเชิงเรขาคณิต
3. มันจัดเรียงกันได้อย่างสมบูรณ์แบบเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่ขึ้น! ความกว้างคือ $(x+2)$, ความสูงคือ $(x+1)$
คำถามที่ 1
ใช้คุณสมบัติของสมการในการแก้สมการ $x - 5 = 6$ ขั้นตอนแรกที่เหมาะสมที่สุดคือ:
ลบ 5 ออกจากทั้งสองข้างของสมการ
บวก 5 เข้าไปทั้งสองข้างของสมการ
คูณด้วย 5 ทั้งสองข้างของสมการ
หารด้วย 6 ทั้งสองข้างของสมการ
ถูกต้อง!
ตามคุณสมบัติของสมการ 1 เพื่อกำจัด $-5$ ด้านซ้าย เราต้องบวก 5 เข้าไปทั้งสองข้าง ได้ $x - 5 + 5 = 6 + 5$ ซึ่งคือ $x = 11$คำใบ้: สังเกตด้านซ้าย เราต้องกำจัด $-5$ อะไรคือการดำเนินการที่ทำให้ $-5$ กลายเป็น $0$?
คำถามที่ 2
ใช้คุณสมบัติของสมการในการแก้สมการ $0.3x = 45$ หาค่า $x$ ได้เป็น:
$13.5$
$15$
$150$
$1500$
เยี่ยมมาก!
ใช้คุณสมบัติของสมการ 2 หารทั้งสองข้างด้วย $0.3$: $\frac{0.3x}{0.3} = \frac{45}{0.3}$ คำนวณได้ $x = 150$จำไว้ว่าต้องหารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์ $0.3$ ระวังตำแหน่งของจุดทศนิยม $45 \div 0.3 = 450 \div 3$
คำถามที่ 3
แก้สมการ $5x + 4 = 0$ ควรดำเนินการอย่างไร?
ลบ 4 ออกจากทั้งสองข้าง จากนั้นหารด้วย 5
บวก 4 เข้าไปทั้งสองข้าง จากนั้นหารด้วย 5
หารด้วย 5 ก่อน จากนั้นลบ 4
คูณด้วย 5 ก่อน จากนั้นลบ 4
เหตุผลชัดเจน!
ขั้นตอนแรก: ใช้คุณสมบัติ 1 ลบ 4 ออกจากทั้งสองข้าง ได้ $5x = -4$; ขั้นตอนที่สอง: ใช้คุณสมบัติ 2 หารด้วย 5 ทั้งสองข้าง ได้ $x = -0.8$จัดการกับพจน์คงที่ก่อน! ทำให้พจน์คงที่หายไปก่อน แล้วจึงจัดการกับสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า
คำถามที่ 4
ใช้คุณสมบัติของสมการในการแก้สมการ $2 - \f\frac{1}{4}x = 3$ ได้คำตอบคือ:
$x = 4$
$x = -4$
$x = 20$
$x = -20$
ถูกต้องสมบูรณ์!
ลบ 2 ออกจากทั้งสองข้าง ได้ $-\f\frac{1}{4}x = 1$; จากนั้นคูณด้วย $-4$ (หรือหารด้วย $-\f\frac{1}{4}$) ทั้งสองข้าง ได้ $x = -4$ระวังเครื่องหมายลบ! หลังจากลบ 2 แล้วได้ $-\f\frac{1}{4}x = 1$ เพื่อให้ได้ $x$ ต้องคูณด้วยเลขใด?
คำถามที่ 5
เขียนสมการจากประโยค "จำนวนที่มากกว่า $a$ อยู่ 5 คือ 8" ได้เป็น:
$a - 5 = 8$
$5a = 8$
$a + 5 = 8$
$a + 8 = 5$
ถูกต้องแน่นอน!
"มากกว่า..." หมายถึงการบวก ดังนั้นจึงเป็น $a + 5$ "เท่ากับ" หมายถึงเครื่องหมายเท่ากับคำใบ้สำคัญ: "มากกว่า 5" หมายถึงการดำเนินการบวก
คำถามที่ 6
เขียนสมการจากประโยค "หนึ่งในสามของ $b$ เท่ากับ 9" ได้เป็น:
$\f\frac{1}{3}b = 9$
$3b = 9$
$b + \f\frac{1}{3} = 9$
$b - 3 = 9$
ถูกต้อง!
"หนึ่งในสามของ..." มักหมายถึงความสัมพันธ์การคูณ นั่นคือ $\f\frac{1}{3} \times b = 9$การแสดงเศษส่วนมักหมายถึงการคูณ $b$ ของเศษส่วนใด ๆ คือเศษส่วนนั้นคูณกับ $b$
คำถามที่ 7
เขียนสมการจากประโยค "สองเท่าของ $x$ รวมกับ 10 เท่ากับ 18" ได้เป็น:
$2x - 10 = 18$
$x^2 + 10 = 18$
$2x + 10 = 18$
$2(x + 10) = 18$
ถูกต้อง!
สองเท่าหมายถึง $2x$ และ "รวมกัน" หมายถึง $+$ ดังนั้นเป็น $2x + 10 = 18$ระวังลำดับการดำเนินการ: หาสองเท่าก่อน แล้วจึงรวมกัน
คำถามที่ 8
เขียนสมการจากประโยค "ผลต่างระหว่างหนึ่งในสามของ $x$ กับ $y$ เท่ากับ 6" ได้เป็น:
$\f\frac{1}{3}x - y = 6$
$\f\frac{1}{3}(x - y) = 6$
$3x - y = 6$
$x - \f\frac{1}{3}y = 6$
ถูกต้อง!
คำนวณหนึ่งในสามของ $x$ ก่อน แล้วค่อยลบ $y$ ออกอ่านโจทย์อย่างละเอียด: เป็น "หนึ่งในสามของ $x$" ลบด้วย $y$ ไม่ใช่หนึ่งในสามคูณกับ "ผลต่าง"
คำถามที่ 9
ปัญหาการปลูกต้นไม้: ถ้าแต่ละคนปลูก 10 ต้น จะเหลือต้นไม้ 6 ต้น ถ้าแต่ละคนปลูก 12 ต้น จะขาดต้นไม้ 6 ต้น กำหนดจำนวนคนเป็น $x$ สมการที่สร้างจากการที่จำนวนต้นไม้ทั้งหมดเท่ากันคือ:
$10x - 6 = 12x + 6$
$10x + 6 = 12x - 6$
$\f\frac{x}{10} + 6 = \f\frac{x}{12} - 6$
$10(x + 6) = 12(x - 6)$
โมเดลยอดเยี่ยม!
"เหลือ 6 ต้น" หมายถึงจำนวนรวมมากกว่าจำนวนที่ปลูกไป $10x + 6$; "ขาด 6 ต้น" หมายถึงจำนวนรวมน้อยกว่าจำนวนที่ต้องการปลูก $12x - 6$ ทั้งสองอย่างเท่ากันคิดดู: ต้นไม้ที่เหลืออีก 6 ต้นต้องใส่เข้าไปอย่างไร? ต้นไม้ที่ขาดอีก 6 ต้นต้องหักออกอย่างไร? จำนวนรวมไม่เปลี่ยนแปลง
คำถามที่ 10
ปัญหาการปีนเขา: จางฮัวเดินเร็ว $10$ เมตร/นาที ออกเดินก่อน 30 นาที หลี่หมิงเดินเร็ว $15$ เมตร/นาที ถ้าทั้งสองคนขึ้นถึงยอดพร้อมกัน กำหนดเวลาที่หลี่หมิงใช้เป็น $t$ นาที สมการควรเป็น:
$15t = 10(t - 30)$
$15t = 10(t + 30)$
$15(t + 30) = 10t$
$\f\frac{t}{15} = \f\frac{t + 30}{10}$
เยี่ยมมาก!
ทั้งสองคนขึ้นถึงยอดสูงเท่ากัน หลี่หมิงใช้เวลา $t$ จางฮัวออกเดินก่อน ดังนั้นใช้เวลานานกว่า คือ $(t + 30)$ โดยใช้สูตร ความเร็ว × เวลา = ระยะทาง ได้ $15t = 10(t + 30)$ระวังเวลา: ใครใช้เวลานานกว่า? คนที่ออกเดินก่อนใช้เวลานานกว่า
ความท้าทาย: ศิลปะของปริมาณที่เท่ากันในคำถามประยุกต์
การสร้างแบบจำลองและฝึกฝนคุณสมบัติของสมการในสถานการณ์จริง
ในปัญหาจริง สมการไม่ได้เชื่อมแค่ตัวเลข แต่ยังเชื่อมความสมดุลของปริมาณทางกายภาพ ลองใช้กรณีตัวอย่างคลาสสิกสองกรณีนี้ เพื่อฝึกวิธีการสร้างและแก้สมการ
เคสที่ 1
แผนการแจกจ่ายต้นไม้: กลุ่มคนหลายคนร่วมกันปลูกต้นไม้ หากแต่ละคนปลูก $10$ ต้น จะเหลือต้นไม้ $6$ ต้นที่ยังไม่ได้ปลูก ถ้าแต่ละคนปลูก $12$ ต้น จะขาดต้นไม้ $6$ ต้น ถามว่ามีคนปลูกต้นไม้กี่คน?
ขั้นตอนอย่างละเอียด:
1. ตั้งสมมุติ: ให้จำนวนคนที่ร่วมปลูกต้นไม้คือ $x$ คน
2. เขียนสมการ: จำนวนต้นไม้ทั้งหมดคงที่ แผนที่ 1 มีจำนวนรวม $10x + 6$ แผนที่ 2 มีจำนวนรวม $12x - 6$ สร้างสมการ: $10x + 6 = 12x - 6$
3. แก้สมการ:
ลบ $10x$ ออกจากทั้งสองข้าง (คุณสมบัติ 1): $6 = 2x - 6$
บวก $6$ เข้าไปทั้งสองข้าง (คุณสมบัติ 1): $12 = 2x$
หารด้วย $2$ ทั้งสองข้าง (คุณสมบัติ 2): $x = 6$
4. ตอบ: จำนวนคนที่ร่วมปลูกต้นไม้คือ 6 คน
1. ตั้งสมมุติ: ให้จำนวนคนที่ร่วมปลูกต้นไม้คือ $x$ คน
2. เขียนสมการ: จำนวนต้นไม้ทั้งหมดคงที่ แผนที่ 1 มีจำนวนรวม $10x + 6$ แผนที่ 2 มีจำนวนรวม $12x - 6$ สร้างสมการ: $10x + 6 = 12x - 6$
3. แก้สมการ:
ลบ $10x$ ออกจากทั้งสองข้าง (คุณสมบัติ 1): $6 = 2x - 6$
บวก $6$ เข้าไปทั้งสองข้าง (คุณสมบัติ 1): $12 = 2x$
หารด้วย $2$ ทั้งสองข้าง (คุณสมบัติ 2): $x = 6$
4. ตอบ: จำนวนคนที่ร่วมปลูกต้นไม้คือ 6 คน
เคสที่ 2
การแข่งขันความเร็วในการปีนเขา: จางฮัวและหลี่หมิงปีนเขาคนหนึ่ง จางฮัวปีนขึ้น $10$ เมตรต่อนาที และออกเดินก่อน $30$ นาที หลี่หมิงปีนขึ้น $15$ เมตรต่อนาที ทั้งสองคนขึ้นถึงยอดพร้อมกัน ยอดเขาสูงกี่เมตร?
ขั้นตอนอย่างละเอียด:
1. ตั้งสมมุติ: กำหนดเวลาที่หลี่หมิงใช้ในการขึ้นถึงยอดคือ $t$ นาที ดังนั้นจางฮัวใช้เวลา $(t + 30)$ นาที
2. เขียนสมการ: ความสูงของภูเขากลางเท่ากัน $15t = 10(t + 30)$
3. แก้สมการ:
กระจายด้านขวา: $15t = 10t + 300$
ลบ $10t$ ออกจากทั้งสองข้าง (คุณสมบัติ 1): $5t = 300$
หารด้วย $5$ ทั้งสองข้าง (คุณสมบัติ 2): $t = 60$
4. คำนวณ: ความสูงของภูเขาก็คือ $15 \times 60 = 900$ เมตร
5. ตอบ: ความสูงของภูเขาก็คือ 900 เมตร
1. ตั้งสมมุติ: กำหนดเวลาที่หลี่หมิงใช้ในการขึ้นถึงยอดคือ $t$ นาที ดังนั้นจางฮัวใช้เวลา $(t + 30)$ นาที
2. เขียนสมการ: ความสูงของภูเขากลางเท่ากัน $15t = 10(t + 30)$
3. แก้สมการ:
กระจายด้านขวา: $15t = 10t + 300$
ลบ $10t$ ออกจากทั้งสองข้าง (คุณสมบัติ 1): $5t = 300$
หารด้วย $5$ ทั้งสองข้าง (คุณสมบัติ 2): $t = 60$
4. คำนวณ: ความสูงของภูเขาก็คือ $15 \times 60 = 900$ เมตร
5. ตอบ: ความสูงของภูเขาก็คือ 900 เมตร
✨ ประเด็นหลัก
ทั้งสองข้างของสมการบวกหรือลบกันมือที่รักษาระดุลไม่เคยเปลี่ยนแปลง។คูณหรือหารด้วยไม่ใช่ศูนย์ทั้งสองข้างพจน์ของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าได้รับเสรีภาพ។กำจัดพจน์คงที่,ปรับสัมประสิทธิ์၊สมการหนึ่งตัวแปรจับได้ง่าย!
💡 ข้อควรระวังของคุณสมบัติ 2
เมื่อใช้คุณสมบัติ 2 ในการแปลงรูปด้วยการหาร ต้องแน่ใจว่าตัวหารไม่ใช่ 0 ในพจน์พีชคณิต หากหารด้วยพจน์ที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ต้องระวังเป็นพิเศษ
💡 กฎการกำจัด
คุณสมบัติ 1 ใช้กับการ 'กำจัด' พจน์ที่บวกหรือลบ (พื้นฐานของการย้ายพจน์) คุณสมบัติ 2 ใช้กับการ 'ปรับสัมประสิทธิ์ให้เป็น 1' โดยทั่วไปควรทำบวก/ลบก่อน แล้วจึงคูณ/หาร
💡 ตรวจสอบเป็นนิสัยที่ดี
หลังจากแก้หาค่า $x$ แล้ว แทนค่าลงในด้านซ้ายและด้านขวาของสมการเดิม ถ้าทั้งสองด้านเท่ากัน แสดงว่าการจัดการเครื่องชั่งของคุณถูกต้อง!
💡 แนวคิดโดยรวม
ในคุณสมบัติ 1 ตัวแปร $c$ อาจเป็นจำนวนธรรมดา หรือพจน์พีชคณิตที่ซับซ้อนได้ ตราบใดที่ทั้งสองข้างดำเนินการเหมือนกัน สมดุลจะไม่ถูกทำลาย
💡 หน่วยต้องสมมาตร
เมื่อเขียนสมการเพื่อแก้ปัญหาจริง ต้องตรวจสอบว่าหน่วยของทุกปริมาณสอดคล้องกัน (เช่น นาทีกับชั่วโมง, เมตรกับกิโลเมตร)